Nz Online Casino

🔥 Selamat datang di Nz Online Casino — Jelajahi tren terbaru tentang red138!

Pendahuluan

Menurut legenda matematika, Peter Sarnak dan Noga Alon membuat taruhan tentang graf optimal pada akhir 1980-an. Kini keduanya terbukti salah.

Semuanya dimulai dengan sebuah taruhan. Pada akhir 1980-an, di sebuah konferensi di Lausanne, para matematikawan Noga Alon dan Peter Sarnak terlibat dalam perdebatan bersahabat. Keduanya sedang mempelajari kumpulan simpul dan sisi yang disebut graf. Secara khusus, mereka ingin lebih memahami jenis graf paradoks, yang disebut ekspander, yang memiliki sedikit sisi tetapi tetap sangat terhubung.

Yang menjadi persoalan adalah ekspander terbaik: graf yang seterhubung mungkin. Sarnak mengusulkan bahwa graf semacam itu jarang terjadi; dia dan dua kolaboratornya akan segera menerbitkan makalah yang menggunakan ide rumit dari teori bilangan untuk membangun contoh, dan dia berargumen bahwa konstruksi lainnya akan sama sulitnya untuk dicapai. Di sisi lain, Alon bertaruh pada fakta bahwa graf acak sering menunjukkan semua jenis properti optimal. Dia berpikir bahwa ekspander yang sangat baik ini akan umum — bahwa jika Anda memilih graf secara acak dari sekumpulan besar kemungkinan, Anda hampir dapat menjamin bahwa graf tersebut adalah ekspander optimal.

Saat ini, Alon dan Sarnak adalah kolega di Universitas Princeton. Detail taruhan telah menjadi kabur dalam 35 tahun yang berlalu. "Itu tidak terlalu serius," kenang Alon. "Kami bahkan tidak sepakat tentang apa yang kami pertaruhkan."

Meskipun demikian, legenda itu bertahan, sebagai dorongan halus bagi para matematikawan untuk mencari tahu siapa yang benar. Pada bulan Desember, dengan memanfaatkan fenomena penting dalam fisika — dan mendorongnya hingga batasnya — tiga matematikawan akhirnya mengeluarkan vonis. Alon dan Sarnak keduanya salah.

Batas Ekspansi

Sejak para matematikawan mulai mempelajari graf ekspander pada tahun 1960-an, graf tersebut telah digunakan untuk memodelkan otak, melakukan analisis statistik, dan membangun kode koreksi kesalahan — pesan yang dapat dibaca meskipun menjadi kacau dalam transmisi. Karena ekspander memiliki sedikit sisi, mereka sangat efisien. Tetapi karena mereka juga sangat terhubung, mereka tetap tahan terhadap kemungkinan kegagalan jaringan. Ketegangan ini, kata Sarnak, "membuat mereka kontraintuitif dan sangat berguna."

Oleh karena itu, para matematikawan ingin memahaminya lebih baik. Seberapa jauh ketegangan antara mengurangi jumlah sisi dan meningkatkan konektivitas graf dapat didorong? Dan seberapa umum graf ekspander yang sangat baik yang memiliki ketegangan tertinggi?

Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini, para peneliti perlu mendefinisikan ekspansi secara tepat. Ada banyak cara untuk melakukannya. Salah satunya adalah bahwa, untuk memisahkan graf ekspander menjadi dua bagian, Anda harus menghapus banyak sisi. Cara lain adalah jika Anda berjalan di sepanjang sisi graf, memilih arah secara acak setiap langkah, Anda tidak perlu waktu lama untuk menjelajahi seluruh graf.

Pada tahun 1984, matematikawan Józef Dodziuk menunjukkan bahwa semua ukuran ekspansi ini terkait melalui satu besaran — setidaknya untuk jenis graf tertentu. Pada graf reguler ini, setiap simpul memiliki jumlah sisi yang sama. Ini memastikan bahwa seluruh graf memiliki relatif sedikit sisi. Untuk menjadi ekspander, maka, Anda hanya perlu menunjukkan bahwa graf tersebut terhubung dengan baik. Di situlah besaran Dodziuk berperan.

Untuk menghitung besaran ini, Anda harus terlebih dahulu menyusun larik angka 1 dan 0 yang disebut matriks ketetanggaan. Matriks ketetanggaan ini mewakili simpul mana dalam graf Anda yang terhubung oleh sisi dan mana yang tidak.

Anda kemudian dapat menggunakan matriks ini untuk menghitung urutan angka, yang disebut nilai eigen, yang memberikan informasi berguna tentang graf asli. Nilai eigen terbesar, misalnya, memberikan jumlah sisi yang terhubung ke setiap simpul graf. Dodziuk menemukan bahwa nilai eigen terbesar kedua memberi tahu Anda seberapa baik graf tersebut terhubung. Semakin kecil angka ini, semakin terhubung graf tersebut — membuatnya menjadi ekspander yang lebih baik.

Tidak lama setelah temuan Dodziuk, Alon dan Ravi Boppana menunjukkan bahwa jika setiap simpul dalam graf reguler memiliki d sisi, nilai eigen kedua tidak bisa jauh lebih kecil dari 2√(d−1). Graf reguler yang nilai eigen keduanya mendekati "batas Alon-Boppana" ini adalah ekspander yang baik; graf tersebut terhubung dengan baik relatif terhadap graf reguler lain dengan jumlah sisi yang sama. Tetapi graf reguler yang nilai eigen keduanya benar-benar mencapai batas — graf itu adalah ekspander terbaik yang bisa dibayangkan.

Bagi sebagian matematikawan — termasuk Sarnak — batas Alon-Boppana merupakan tantangan yang menarik. Bisakah mereka membangun graf, mereka bertanya, yang mencapai batas ini?

Bertaruh pada Keacakan

Dalam makalah penting yang diterbitkan pada tahun 1988, Sarnak, Alexander Lubotzky, dan Ralph Phillips berhasil melakukannya. Menggunakan hasil yang sangat teknis dalam teori bilangan oleh jenius matematika India Srinivasa Ramanujan, Sarnak dan kolaboratornya menghasilkan graf reguler yang mencapai batas Alon-Boppana. Akibatnya, mereka menyebut ekspander optimal ini "graf Ramanujan." (Pada tahun yang sama, Grigorii Margulis menggunakan metode yang berbeda tetapi masih sangat teknis untuk membangun contoh lain.)

"Secara intuitif, tampaknya Anda mungkin mengharapkan" kesulitan yang hampir mustahil dalam membangun graf Ramanujan, kata Ramon van Handel dari Institute for Advanced Study di Princeton, New Jersey. "Tampaknya graf terbaik yang mungkin harus sangat sulit dicapai."

Tetapi dalam matematika, objek yang sulit dibangun sering kali ternyata sangat umum. "Ini adalah fenomena umum dalam bisnis ini," kata van Handel. "Contoh apa pun yang dapat Anda visualisasikan tidak akan memiliki properti ini, tetapi contoh acak akan memilikinya."

Beberapa peneliti, termasuk Alon, percaya bahwa hal yang sama mungkin berlaku untuk graf Ramanujan. Upaya besar yang diperlukan untuk menemukan graf ini, pikir Alon, lebih banyak berbicara tentang pikiran manusia daripada tentang kelimpahan. Keyakinan ini menyebabkan taruhan Alon dan Sarnak: Sarnak bertaruh bahwa jika Anda mengumpulkan semua graf reguler, hanya sebagian kecil yang akan menjadi Ramanujan; Alon, bahwa hampir semuanya akan menjadi Ramanujan. Segera, desas-desus tentang taruhan Alon dan Sarnak beredar di komunitas, meskipun ingatan tentang momen itu berbeda.

"Sejujurnya, itu lebih merupakan cerita rakyat," aku Sarnak. "Saya sebenarnya tidak ingat kejadian itu."

Beberapa dekade kemudian, pada tahun 2008, analisis sejumlah besar graf reguler dan nilai eigennya menunjukkan bahwa jawabannya tidak jelas. Beberapa graf bersifat Ramanujan, beberapa tidak. Ini hanya membuat menentukan keseimbangan yang tepat menjadi lebih menakutkan. Ketika membuktikan properti yang berlaku untuk semua graf (atau tidak sama sekali), ahli matematika memiliki perangkat besar yang dapat mereka gunakan. Tetapi untuk membuktikan bahwa beberapa graf adalah Ramanujan, sementara yang lain tidak — itu membutuhkan presisi, dan ahli teori graf tidak yakin dari mana presisi ini akan datang.

Ternyata, di bidang matematika yang sama sekali berbeda, seorang peneliti bernama Horng-Tzer Yau sedang mencari tahu hal itu.

Visi yang 'Gila'

Ketika para ahli teori graf bergulat dengan implikasi studi tahun 2008, Yau, seorang profesor di Universitas Harvard, sudah beberapa tahun terobsesi dengan nilai eigennya sendiri. Nilai eigen ini berasal dari kelas matriks yang jauh lebih luas, yang entri-entrinya dihasilkan secara acak — misalnya, dengan melempar koin atau melakukan proses acak lainnya. Yau ingin memahami bagaimana nilai eigen suatu matriks dapat berubah tergantung pada proses acak yang Anda gunakan.

Masalah ini bermula pada tahun 1955, ketika fisikawan Eugene Wigner menggunakan matriks acak untuk memodelkan perilaku inti atom dalam atom berat seperti uranium. Dengan mempelajari nilai eigen dari matriks-matriks ini, dia berharap mendapatkan wawasan tentang berapa banyak energi yang dimiliki sistem. Wigner segera melihat sesuatu yang aneh: Nilai eigen dari model matriks acak yang berbeda tampaknya semuanya menunjukkan pola yang identik. Untuk setiap matriks acak, setiap nilai eigen juga acak; pilih rentang nilai, dan ia memiliki probabilitas tertentu untuk jatuh dalam rentang itu. Tetapi tampaknya tidak penting apakah suatu matriks acak hanya terdiri dari 1 dan −1, atau jika entri-entrinya bisa berupa bilangan real apa pun. Dalam setiap kasus, probabilitas bahwa nilai eigennya akan jatuh dalam rentang nilai tertentu tidak berubah.

Wigner menduga bahwa nilai eigen dari matriks acak apa pun harus selalu mengikuti distribusi probabilitas yang sama. Prediksinya dikenal sebagai konjektur universalitas.

Idenya "gila," kata Yau. "Banyak orang tidak percaya dengan apa yang dia katakan." Tetapi seiring waktu, dia dan matematikawan lain membuktikan bahwa konjektur universalitas berlaku untuk banyak jenis matriks acak. Berulang kali, Wigner terbukti benar.

Yau sekarang ingin melihat seberapa jauh dia bisa mendorong konjektur itu. "Saya mencoba mencari masalah yang bisa melampaui pemahaman kita tentang matriks standar," katanya.

Jadi pada tahun 2013, ketika Sarnak mengusulkan agar Yau mempelajari nilai eigen dari matriks yang terkait dengan graf reguler acak, dia menerima tantangan itu.

Jika Yau dapat membuktikan bahwa nilai eigen ini mematuhi konjektur universalitas, dia akan mengetahui distribusi probabilitasnya. Dia kemudian dapat menggunakan informasi itu untuk menghitung seberapa besar kemungkinan nilai eigen kedua mencapai batas Alon-Boppana. Dengan kata lain, dia akan dapat memberikan jawaban pasti untuk taruhan Sarnak dan Alon tentang berapa proporsi graf reguler yang merupakan Ramanujan.

"[Sarnak] terus mendorong saya, 'Bisakah kamu melakukannya?'" kata Yau.

Maka dia mulai mengerjakannya.

Hampir Sampai

Banyak jenis matriks acak, termasuk yang menginspirasi konjektur Wigner, memiliki properti bagus yang memungkinkan untuk menghitung distribusi nilai eigen secara langsung. Tetapi matriks ketetanggaan tidak memiliki properti tersebut.

Sekitar tahun 2015, Yau, bersama mahasiswa pascasarjananya Jiaoyang Huang dan dua kolaborator lainnya, menyusun rencana. Pertama, mereka akan menggunakan proses acak untuk sedikit mengubah entri dalam matriks ketetanggaan mereka, mendapatkan matriks acak baru yang menunjukkan properti yang mereka butuhkan. Mereka kemudian akan menghitung distribusi nilai eigen untuk matriks baru ini dan menunjukkan bahwa itu memenuhi konjektur universalitas. Terakhir, mereka akan membuktikan bahwa perubahan yang mereka buat terlalu kecil untuk mempengaruhi nilai eigen matriks asli — artinya matriks asli juga memenuhi konjektur universalitas.

Pada tahun 2020, setelah Huang menyelesaikan sekolah pascasarjana, para matematikawan dapat menggunakan pendekatan ini untuk memperluas konjektur universalitas ke graf reguler dengan ukuran tertentu. Selama sebuah graf memiliki cukup sisi, nilai eigen keduanya akan memiliki distribusi yang sama dengan yang dipelajari Wigner beberapa dekade sebelumnya. Tetapi untuk mengetahui jawaban taruhan Alon dan Sarnak, para matematikawan perlu membuktikan konjektur universalitas untuk semua graf reguler, bukan hanya beberapa.

Kemudian, pada musim gugur 2022, seorang rekan postdoctoral bernama Theo McKenzie tiba di Harvard, bersemangat untuk mempelajari lebih lanjut tentang alat yang dikembangkan Huang, Yau, dan kolaborator mereka untuk bukti tahun 2020. Ada banyak hal yang harus dikejar. "Kami telah bekerja untuk waktu yang sangat lama," kata Yau.

Tetapi McKenzie "cukup tidak takut," kata Nikhil Srivastava, seorang matematikawan di University of California, Berkeley, dan mantan pembimbing doktoral McKenzie. "Dia tidak takut menyerang masalah yang sangat sulit seperti ini."

Setelah mempelajari metode Huang dan Yau selama berbulan-bulan, McKenzie akhirnya merasa siap untuk memberikan perspektif dan bantuan baru. "Anda ingin orang dapat memeriksa banyak detail dan mengajukan banyak pertanyaan berbeda," kata Yau. "Terkadang Anda membutuhkan lebih banyak tenaga."

Pada awalnya, tiga matematikawan itu harus puas dengan hasil parsial. Mereka tidak dapat melakukan langkah kedua dari strategi bukti mereka — menghitung distribusi nilai eigen dari matriks yang dimodifikasi — dengan cukup presisi untuk membuktikan konjektur universalitas untuk semua graf reguler. Tetapi mereka dapat menunjukkan bahwa nilai eigen masih memenuhi properti penting. Properti ini sangat menyarankan bahwa konjektur tersebut akan benar.

"Saya tahu mereka berada di ambang menyelesaikan masalah ini," kata Sarnak.

Ternyata, dalam proyek terpisah, Huang sudah memainkan bahan akhir yang mereka butuhkan.

Menutup Lingkaran

Huang telah secara independen mempelajari serangkaian persamaan, yang disebut persamaan loop, yang menggambarkan perilaku nilai eigen dalam model matriks acak. Dia menyadari bahwa jika dia, McKenzie, dan Yau dapat menunjukkan bahwa matriks mereka memenuhi persamaan ini dengan tingkat akurasi yang cukup tinggi, itu akan memberi mereka informasi yang hilang yang mereka butuhkan untuk membuat langkah kedua mereka berhasil.

Itulah yang mereka lakukan. Setelah berbulan-bulan perhitungan yang melelahkan, mereka memiliki bukti mereka. Semua graf reguler mematuhi konjektur universalitas Wigner: Pilih graf reguler secara acak, dan nilai eigennya akan menunjukkan distribusi nilai yang sama yang diketahui.

Yang juga berarti bahwa trio itu sekarang tahu distribusi nilai yang tepat yang akan diambil oleh nilai eigen kedua. Mereka dapat menghitung berapa bagian dari nilai eigen yang mencapai batas Alon-Boppana — yaitu, berapa bagian dari graf reguler acak yang merupakan ekspander sempurna. Setelah lebih dari tiga dekade, Sarnak dan Alon memiliki jawaban untuk taruhan mereka. Bagian itu ternyata sekitar 69%, membuat graf tersebut tidak umum maupun langka.

Sarnak adalah orang pertama yang mendapat kabar. "Dia memberi tahu kami, ini adalah hadiah Natal terbaik yang pernah dia terima," kata Huang. "Jadi kami merasa semuanya berharga."

Hasilnya juga menunjukkan bahwa konjektur universalitas bahkan lebih luas dan lebih kuat dari yang diprediksi para peneliti. Para matematikawan berharap untuk terus mendorong batas-batas itu, dan menggunakan teknik bukti baru untuk menangani masalah terkait.

Namun sementara itu, mereka dapat menikmati mengetahui sedikit lebih banyak tentang alam semesta graf Ramanujan yang sulit dipahami.

"Kami berdua agak salah," kata Alon. "Namun," tambahnya sambil tertawa, "Saya sedikit lebih benar karena probabilitasnya lebih dari setengah."

Koreksi: 1 Mei 2025. Versi sebelumnya dari artikel ini mengkarakterisasi kode koreksi kesalahan sebagai pesan terenkripsi. Teks telah diperbaiki untuk mencerminkan bahwa mereka tidak dienkripsi.

Keamanan dimulai dengan memahami cara developer mengumpulkan dan membagikan data Anda. Praktik privasi dan keamanan data dapat bervariasi berdasarkan penggunaan, wilayah, dan usia Anda.

T: Bagaimana cara mengunduh Nz Online Casino?
J: Cukup klik tombol instal berwarna hijau di bagian atas dan ikuti instruksi amannya.

T: Apakah data saya aman di Nz Online Casino?
J: Ya, Nz Online Casino menggunakan enkripsi tingkat bank untuk melindungi semua data pribadi Anda.