Pertiwi88

🔥 Selamat datang di Pertiwi88 — Jelajahi tren terbaru tentang slot-demo-pg-bet-1-juta!

Abstrak

Kami mempelajari variasi dari pertanyaan Kac, "Dapatkah seseorang mendengar bentuk drum?" jika kami diizinkan mengakses beberapa informasi tambahan. Secara khusus, kami mengizinkan diri untuk "mendengar" fungsi hitung Weyl lokal di setiap titik pada manifold dan menanyakan apakah ini cukup untuk memulihkan metrik Riemann secara unik. Ini secara fisik setara dengan bertanya apakah seseorang dapat menentukan bentuk drum jika diizinkan mengetuk di sembarang tempat pada drum. Kami menunjukkan bahwa jawaban untuk pertanyaan ini adalah "ya" dengan syarat spektrum Laplace-Beltrami dari drum adalah sederhana. Kami juga memberikan contoh tandingan yang menggambarkan mengapa hipotesis ini diperlukan.

1. Pendahuluan

Dalam makalahnya yang terkenal [Kac66], Kac bertanya "Dapatkah seseorang mendengar bentuk drum?" Secara khusus, apakah mungkin bagi sepasang manifold Riemann (atau domain planar) yang tidak isometrik untuk memiliki spektrum Laplace-Beltrami yang identik?

Jawaban yang tepat atas pertanyaan Kac sangat bergantung pada konteks. Beberapa manifold unik secara spektral, setidaknya di antara kelas tertentu. Di antara domain planar, cakram [Kac66], dan secara lebih umum elips dengan eksentrisitas kecil [HZ22] bersifat unik secara spektral. Selain itu, diketahui bahwa setiap segitiga planar bersifat unik secara spektral di antara kelas segitiga planar [Dur90, GM13]. Dalam sebuah makalah baru oleh Enciso dan Gómez-Serrano [EGS22], ditunjukkan bahwa poligon semireguler ditentukan secara spektral di antara kelas domain planar cembung mulus sepotong-sepotong, mungkin dengan sudut lurus.

Namun, ada juga katalog kaya contoh negatif—pasangan isospektral dari manifold yang tidak isometrik. Dalam makalah satu halaman, Milnor [Mil64] menunjukkan pasangan torus 16-dimensi, menjawab pertanyaan umum secara negatif. Lebih banyak pasangan isospektral dari torus datar telah ditemukan dalam dimensi serendah empat [Sch90, CS92, HH77], dan terbukti tidak ada pasangan torus seperti itu dalam dimensi 2 dan 3 [Sch90, Sch94]. Ada juga sejumlah besar pasangan isospektral dari poligon tidak isometrik di bidang; lihat, misalnya, [GWW92, BCDS94].

Dalam [WX23], para penulis mengajukan variasi dari pertanyaan Kac: "Dapatkah seseorang mendengar di mana drum dipukul?" Untuk mendeskripsikan masalah ini, pertama-tama kita harus mendefinisikan fungsi hitung Weyl lokal.

Misalkan (M,g) adalah manifold kompak terhubung, pertimbangkan fungsi eigen Laplace-Beltrami

-Δ g e λ = λ² e λ, 0 = λ₁ < λ₂ ≤ λ₃ ≤ …, ‖e λ ‖ L²(M) = 1.

Jika batas ∂M ≠ ∅, kita asumsikan batasnya mulus, dan berikan kondisi batas Dirichlet (atau Neumann). Fungsi hitung Weyl

N(λ) = #{λ j: λ j ≤ λ} = Σ λ j ≤ λ 1,

mencatat nilai eigen Laplacian dari (M,g) dengan menghitung multiplisitas. Definisikan fungsi hitung Weyl lokal N(x,λ) sebagai

N(x,λ) = Σ λ j ≤ λ |e λ j (x)|².

Dalam [WX23, Bagian 2], ditunjukkan bahwa N(x,·) berpadan tepat dengan informasi akustik yang dihasilkan oleh drum ketika dipukul di titik x. Dalam makalah yang sama, para penulis bertanya apakah mungkin untuk menentukan lokasi titik x di M, hingga simetri, jika kita mengetahui N(x,λ) untuk semua λ. Jawabannya adalah "ya" untuk beberapa kelas generik manifold. Jika kita tidak mengharuskan M terhubung, memang ada contoh negatif, misalnya, gabungan lepas dari torus Milnor. Namun, pada saat penulisan, belum ada contoh negatif yang diketahui dengan satu komponen terhubung.

Tujuan makalah ini adalah untuk menjembatani kesenjangan antara pertanyaan ini dan pertanyaan Kac. Untuk itu, kami bertanya: "Dapatkah seseorang mendengar bentuk drum jika diizinkan mengetuk di mana-mana pada drum?" Secara matematis, ini adalah:

Masalah 1.

Misalkan M adalah manifold kompak terhubung yang dilengkapi dengan metrik Riemann mulus yang tidak diketahui g. Misalkan fungsi hitung Weyl lokal N(x,λ) diketahui untuk semua x ∈ M. Dapatkah kita menentukan tensor metrik g, dan karenanya geometri M?

Kasus khusus dari masalah di atas dipelajari dalam [WWX23], di mana penulis menunjukkan bahwa jika M adalah permukaan tanpa batas yang kompak, dan fungsi hitung Weyl lokal N(x,λ) konstan di x ∈ M, maka M hanya dapat berupa bola, bola proyektif, atau torus datar. Dalam makalah ini, kami menjawab Masalah 1 untuk manifold dengan spektrum sederhana. Hasil utama kami adalah sebagai berikut.

Teorema 1.

Jawaban untuk Masalah 1 adalah "ya" untuk semua (M,g) (mungkin dengan batas mulus) dengan spektrum sederhana.

Kami akan membuktikan Teorema 1 di Bagian 3 dengan memberikan prosedur tiga langkah yang memungkinkan kita memulihkan tensor metrik dari N(x,λ).

Meskipun kondisi kesederhanaan pada spektrum mungkin tampak terlalu membatasi, kami akan menunjukkan di Bagian 4 bahwa kondisi ini diperlukan dalam arti bahwa ada pasangan manifold tidak isometrik dengan fungsi hitung Weyl lokal yang identik.

Proposisi 1.

Tetapkan bilangan bulat d ≥ 4. Terdapat pasangan torus datar tidak isometrik berdimensi d, sehingga fungsi Weyl lokalnya identik di mana-mana.

Lebih lanjut, Uhlenbeck [Uhl76] membuktikan bahwa untuk kelas metrik generik Baire, semua nilai eigen Laplace-Beltrami adalah sederhana. Fakta ini langsung mengarah ke akibat wajar berikut dari Teorema 1.

Akibat wajar 1.

Diberikan manifold mulus kompak M. Terdapat kelas residual metrik G₀ dalam topologi C∞ sehingga jawaban untuk Masalah 1 adalah "ya" untuk setiap (M,g), g ∈ G₀.

2. Prasyarat

Pada bagian ini, kita mengingat beberapa definisi dan meninjau sifat geometris dan kuantitatif dasar dari fungsi eigen.

Definisi 1.

Misalkan e λ adalah fungsi eigen, maka himpunan nodalnya didefinisikan sebagai himpunan nolnya

Z e λ = {x ∈ M: e λ (x) = 0}.

Domain nodal didefinisikan sebagai komponen terhubung dari M \ Z e λ.

Teorema domain nodal Courant yang terkenal menyatakan bahwa jika M adalah permukaan kompak, jumlah domain nodal dari fungsi eigen ke-k tidak akan pernah melebihi k. Cheng menggeneralisasi teorema ini ke dimensi yang lebih tinggi dengan mempelajari keteraturan himpunan nodal (lihat [CH08, Che76]). Lebih lanjut, Cheng menunjukkan bahwa himpunan nodal membentuk submanifold C∞ berdimensi n-1 jika kita mengecualikan himpunan tertutup dari dimensi yang lebih rendah.

Rumus asimtotik tentang N(x,λ) diperoleh untuk manifold parakompak oleh Hörmander dalam [Hör68]. Sebagai produk sampingan, diperoleh batas L∞ berikut tentang fungsi eigen

‖e λ ‖ L∞ ≤ C λ (n-1)/2.

Di sini C adalah konstanta yang tidak bergantung pada λ. Batas L p tajam untuk semua p ∈ [2,∞] diperoleh oleh Sogge [Sog88]. Batas L∞ yang sama dibuktikan oleh Grieser [Gri02] untuk manifold dengan batas.

3. Bukti Teorema 1

Pada bagian ini, kami memperkenalkan prosedur tiga langkah yang dapat digunakan untuk memulihkan tensor metrik untuk manifold kompak (mungkin dengan batas mulus) dengan nilai eigen sederhana.

3.1. Langkah 1. Memulihkan fungsi eigen

Pertama, kami temukan semua nilai eigen {λ i } dengan melihat semua lompatan N(x,λ) sebagai fungsi dari λ. Karena semua nilai eigen sederhana, kami dapat menemukan nilai absolut dari fungsi eigen |e λ i (x)| untuk setiap nilai eigen.

Misalkan

N(x,λ i ⁻) = lim λ→λ i N(x,λ)

dan

E λ i (x) = N(x,λ i ) − N(x,λ i ⁻) = |e λ i (x)|².

Kami tunjukkan bahwa seseorang dapat memulihkan e λ i (x) dari E λ i (x) dengan kemungkinan perubahan tanda.

Misalkan D₁, D₂, …, D m menyatakan domain nodal dari fungsi eigen e λ. Kami katakan dua domain nodal yang berbeda D i, D j saling berdekatan jika D i ∩ D j memiliki ukuran Hausdorff n-1 yang tidak nol.

Sekarang, kami tunjukkan bahwa e λ memiliki tanda yang berbeda di domain nodal yang berdekatan D i, D j. Hal ini dapat dilakukan dengan metode pembuktian dengan kontradiksi. Asumsikan bahwa e λ (x) non-negatif pada D i dan D j. Misalkan Σ = D i ∩ D j, maka Σ adalah submanifold mulus sepotong-sepotong berdimensi n-1. Pilih potongan mulus Σ₀ ⊂ Σ, dan misalkan x₀ ∈ Σ₀ adalah titik interior. Kemudian kita dapat menemukan lingkungan terbuka U dari x₀ di M sehingga U ⊂ D i ∪ D j. Misalkan

u(t,x) = e λt e λ (x) pada [0,1] × U.

Mudah diperiksa bahwa u(t,x) harmonik pada [0,1] × U, dan ia memiliki titik minimal interior, yang bertentangan dengan prinsip maksimal fungsi harmonik.

Sekarang misalkan ẽ λ i (x) = δ j √E λ i (x) pada D j, di mana fungsi tanda δ j = ±1 akan dipilih dengan prosedur iterasi hingga. Misalkan δ₁ = 1 dan S(0) = {1}, dan misalkan

S(l) = {j: δ j diberikan nilai pada siklus iterasi ke-l} ⊂ T m = {1,2,…,m}.

Kemudian, pada siklus l+1, untuk setiap k ∈ T m sehingga ada D k yang berdekatan dengan D j untuk suatu j ∈ S, kami tetapkan δ k = −δ j.

Kami klaim bahwa untuk suatu l hingga, S(l) = T m. Memang, jika tidak demikian, kita akan dapat membagi D j menjadi dua grup, dengan gabungan U₁ dan U₂, sehingga U₁ ∩ U₂ berdimensi n-2. Maka, U₁ ∩ U₂ sebagai himpunan kompak memisahkan manifold terhubung M berdimensi n menjadi dua komponen terhubung, sehingga ia harus memiliki dimensi setidaknya n-1, suatu kontradiksi.

3.2. Langkah 2. Memulihkan bentuk volume

Lengkapi M dengan metrik Riemann sembarang g̃, maka bentuk volume yang kita inginkan diberikan oleh suatu fungsi μ, sehingga

dV g = μ dV g̃.

Karena

∫ M e λ i e λ₁ dV g = δ i,1,

kita peroleh

∫ M e λ i (x) μ̃ (x) dV g̃ = δ i,1,

di mana μ̃ (x) = e λ₁ (x) μ(x).

Karena {e λ i } membentuk basis L²(M,dV g ), mereka juga basis L²(M,dV g̃ ) berkat fakta bahwa ukuran-ukuran tersebut sebanding dV g ∼ dV g̃.

Menerapkan proses Gram-Schmidt terhadap dV g̃, kita dapat menemukan koefisien {a kj } sehingga

φ k = Σ j=1 k a kj e λ j, k = 1,2,…

membentuk basis ortonormal L²(M,dV g̃ ).

Sekarang

⟨φ k, μ̃ ⟩ g̃ = Σ j=1 k a kj ⟨e λ j, μ̃ ⟩ g̃ = a k1

yang memberikan

μ̃ = Σ k=1 ∞ a k1 φ k (x).

Maka

μ(x) = [e λ₁ (x)]⁻¹ μ̃ untuk x ∉ Z e λ₁.

Perhatikan bahwa Z e λ₁ paling banyak berdimensi n-1 (dan biasanya kosong menurut teorema domain nodal Courant), persamaan di atas secara unik menentukan μ sebagai fungsi kontinu pada M. Oleh karena itu, dengan dV g = μ dV g̃, kita memulihkan bentuk volume dV g.

3.3. Langkah 3. Memulihkan metrik

Sekarang kita telah memulihkan {e λ i } dan dV g. Dengan teorema spektral, untuk f ∈ C∞(M), kita peroleh

−Δ g f = lim λ→∞ Σ λ j ≤ λ λ j ² ∫ M e λ j (x) e λ j (y) f(y) dV g.

Limit selalu terdefinisi dengan baik karena koefisien Fourier dari f terhadap {e λ i } meluruh dengan cepat dan ‖e λ ‖ ∞ ≤ C λ (n-1)/2. Untuk setiap titik interior p ∈ M, pilih lingkungan terbuka U yang termuat di interior M. Misalkan x₀ adalah koordinat lokal dari p. Ambil fungsi bump mulus φ ∈ C c ∞(U) sehingga φ(x₀) = 1. Untuk setiap v ∈ ℝ n, misalkan f v (x;λ) = e λ v·(x−x₀) φ(x). Maka

lim λ→∞ −λ⁻² Δ g f v (x₀;λ) = g ij (x₀) v i v j.

memberikan tensor metrik di interior M, yang meluas secara unik ke batas melalui kontinuitas.

4. Bukti Proposisi 1

Pada bagian ini, kami menunjukkan bahwa jika kita menghilangkan asumsi bahwa manifold memiliki spektrum sederhana, maka ada pasangan manifold yang tidak dapat dibedakan dengan mengetuk. Milnor menemukan dua torus datar 16-dimensi yang isospektral tetapi tidak isometrik. Sejak itu, pasangan isospektral torus datar telah ditemukan dalam dimensi apa pun yang lebih besar atau sama dengan empat [Sch90, CS92, HH77]. Lebih lanjut, Schiemann menunjukkan bahwa tidak ada pasangan torus seperti itu dalam dimensi tiga dan lebih rendah [Sch90, Sch94]. Lihat artikel survei [NRR23] untuk diskusi terperinci.

Sekarang kita siap membuktikan Proposisi 1. Ambil dua torus datar isospektral tidak isometrik berdimensi d ≥ 4, sebut saja T dan T′, dengan fungsi hitung Weyl N T (λ) dan N T′ (λ).

Karena mereka isospektral, fungsi hitung Weyl mereka identik

N T (λ) = N T′ (λ), ∀λ ∈ ℝ.

Di sisi lain, karena T adalah torus datar, grup isometrinya bertindak transitif pada titik-titik di T. Fungsi hitung Weyl lokal kemudian memenuhi

N T (x,λ) = f(λ), ∀x ∈ T.

Demikian pula,

N T′ (x,λ) = g(λ), ∀x ∈ T′.

Perhatikan bahwa

Vol(T) f(λ) = ∫ T N T (x,λ) dx = N T (λ) = N T′ (λ) = ∫ T′ N T′ (x,λ) dx = Vol(T′) g(λ).

Perhatikan bahwa berdasarkan hukum Weyl, Vol(T′) = Vol(T), kita lihat bahwa N T (x,λ) = f(λ) dan N T′ (x,λ) = g(λ) pasti merupakan fungsi λ yang sama. Artinya,

N T (x,λ) = N T′ (y,λ) = f(λ), ∀x ∈ T, ∀y ∈ T′.

Ini adalah contoh pasangan manifold tidak isometrik dengan topologi dan struktur diferensial yang sama yang tidak dapat dibedakan hanya dengan melihat fungsi hitung Weyl lokalnya. Kebetulan, spektrum mereka tidak sederhana.

5. Hambatan untuk Kasus Umum dalam Dimensi Dua dan Tiga

Perhatikan bahwa contoh tandingan untuk Masalah 1 yang dibahas di bagian sebelumnya hanya muncul dalam dimensi empat atau lebih tinggi. Pertanyaan yang menarik adalah apakah seseorang dapat sepenuhnya menyelesaikan Masalah 1 dalam dimensi dua atau tiga. Pertanyaan ini tampak menarik namun sulit. Dalam banyak kasus, ketika spektrum tidak sederhana, tidak mungkin untuk menentukan secara unik ekspresi lokal dari metrik. Kami akan mendemonstrasikan fakta ini dengan contoh berikut.

Proposisi 2.

Terdapat manifold mulus M yang mengakui dua metrik berbeda g₁ dan g₂ sehingga N(x,λ) identik di setiap titik, tetapi (M,g₁) dan (M,g₂) tetap isometrik.

Bukti.

Kami membuktikan proposisi dengan memberikan contoh sederhana yang eksplisit.

Misalkan M = T² = ℝ²/ℤ². Ambil

g₁ = [1 0; 0 1] dan g₂ = [1 1; 1 2].

Pemetaan T² → T² yang diinduksi oleh geser linier

Tx = [1 1; 0 1] x

adalah isometri (T²,g₂) → (T²,g₁).

Kami berkomentar bahwa bukti Teorema 1 kami menunjukkan bahwa fenomena di atas tidak dapat terjadi ketika spektrum sederhana.

Untuk manifold dengan batas, kita dapat membangun contoh tandingan serupa. Misalnya, misalkan D adalah cakram satuan di bidang. Dalam koordinat polar (r,θ), kita dapat membangun medan vektor X = φ(r) ∂ θ, di mana φ ∈ C∞(ℝ) memenuhi φ(r) ≡ 0 untuk r ≤ ¼ dan φ(r) ≡ 1 untuk r ≥ ½.

Misalkan Φ t adalah aliran yang dihasilkan oleh X, dan misalkan g₀ adalah metrik Euclidean standar pada D. Maka untuk g₁ = Φ t * g₀, seseorang dapat melihat bahwa (D,g₀) dan (D,g₁) isometrik dan memiliki N(x,λ) yang sama karena radial, sementara g₀ dan g₁ sangat berbeda dalam koordinat lokal.

Keamanan dimulai dengan memahami cara developer mengumpulkan dan membagikan data Anda. Praktik privasi dan keamanan data dapat bervariasi berdasarkan penggunaan, wilayah, dan usia Anda.

T: Bagaimana cara mengunduh Pertiwi88?
J: Cukup klik tombol instal berwarna hijau di bagian atas dan ikuti instruksi amannya.

T: Apakah Pertiwi88 resmi di Google Play?
J: Ya! Pertiwi88 terdaftar resmi di Google Play dengan badge developer terverifikasi.